如何通过数学归纳法证明数列 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$（其中 $a_1=1$）满足 $a_n \ge \frac{1}{2}$？

适用条件

• 数列由 $n \ge 1$ 时的 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$ 定义。
• 初始值为 $a_1=1$。
• 目标是证明对于所有 $n \ge 1$，$a_n \ge \frac{1}{2}$。

理解与推导

1. 验证基础情况：$a_1=1$，因为 $1 \ge \frac{1}{2}$，所以对于 $n=1$ 该陈述成立。
2. 陈述归纳假设：假设对于某个 $n \ge 1$，$a_n \ge \frac{1}{2}$。
3. 应用递推关系：$a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$。
4. 将归纳假设代入不等式：$a_{n+1} \ge \frac{1}{3}(\frac{1}{2}+1)$。
5. 简化右边：$\frac{1}{3}(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2}$。
6. 得出 $a_{n+1} \ge \frac{1}{2}$ 的结论，完成归纳步骤。

例子

黑板上写着：“Suppose $a_n \ge \frac{1}{2}$”（假设 $a_n \ge \frac{1}{2}$），后面跟着推导 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1) \ge \frac{1}{3}(\frac{1}{2}+1) = \frac{1}{2}$。

容易误解的地方

• 假设归纳步骤证明了 $n=1$ 时的陈述而不是 $n+1$ 时的陈述。
• 忘记函数 $f(x) = \frac{1}{3}(x+1)$ 是递增的，这正是代入下界的理由。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么讲师说数列必须有界且单调？
• 在证明数列有下界之后，讲师说还需要证明什么？