在二重积分定义中，如何使用黎曼和近似计算由曲面上方界定的立体的体积？

适用条件

• 立体上方由光滑曲面 $z=f(x,y)$ 界定，下方由平面区域 $D$ 界定。
• 底面区域 $D$ 被均匀划分为微小的矩形网格。
• $\Delta\sigma_i$ 表示第 $i$ 个子区域的面积。
• $(\xi_i, \eta_i)$ 是在第 $i$ 个子区域内选择的样本点。

理解与推导

1. 绘制光滑向上凸起的曲面及其在水平面上的矩形投影 $D$。
2. 将底面区域 $D$ 划分为许多微小的矩形网格。
3. 从每个微网格向上挤出以生成细长的长方体棱柱。
4. 将每个棱柱的高度设为对应的表面高度 $f(\xi_i, \eta_i)$。
5. 对所有单个棱柱的体积求和，形成总体积的近似值。
6. 让网格划分变得越来越密集（网孔尺寸 $\to 0$）。
7. 观察阶梯模型无限接近实际光滑表面的体积。

例子

隔离出一个棱柱：其底面积为 $\Delta\sigma_i$，高度为 $f(\xi_i, \eta_i)$。将它们乘积相加得到近似体积。脚本指出：“随着网格划分变得越来越密集，这种阶梯状近似模型无限接近实际的平滑表面。”

容易误解的地方

• 认为仅增加棱柱的数量就能保证准确性，而无需细化网孔尺寸（子区域的最大直径必须趋于零）。
• 混淆样本点高度与单元格上表面的平均高度或最大高度。

观看对应讲解

继续追问

• 如果函数值为负数，近似会发生什么变化？
• 极限定义如何正式地从黎曼和过渡到二重积分符号？