如何使用极限定义求 sin x 的导数？

适用条件

• 角度单位为弧度。
• $x$ 是固定的实数。
• 非零 $h$ 趋于 0。
• 假设标准正弦比极限和余弦连续性为前提条件。

理解与推导

1. 将 $f(x) = \sin x$ 代入导数定义：$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$。
2. 应用和差化积公式 $\sin A - \sin B = 2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}$，令 $A = x+h$，$B = x$。
3. 将分子简化为 $2\sin\frac{h}{2}\cos\frac{2x+h}{2}$。
4. 通过将分母 $h$ 拆分为 $2 \cdot \frac{h}{2}$ 来重写极限表达式：$\lim_{h \to 0} \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cdot \cos\left(x + \frac{h}{2}\right)$。
5. 使用标准极限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ 计算第一个因子，结果为 1。
6. 由于余弦函数的连续性，通过直接代入 $h=0$ 计算第二个因子，得到 $\cos x$。
7. 将结果相乘，得出 $(\sin x)' = \cos x$。

例子

视频展示了逐步推导过程：$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2\sin\frac{h}{2}\cos\frac{2x+h}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cdot \lim_{h \to 0} \cos\frac{2x+h}{2} = 1 \cdot \cos x$。

容易误解的地方

• 认为分母为 0 的极限表达式没有意义；它是 $0/0$ 型未定式，需要化简。
• 应用标准正弦极限时，未确保正弦函数内的变量与分母完全一致。
• 假设求导点 $x$ 必须趋于 0；实际上 $x$ 保持固定，而 $h$ 趋于 0。

观看对应讲解

相关概念

继续追问

• 正弦函数的和差化积公式是什么？
• 使用重要极限 $\lim (\sin x)/x = 1$ 时需要注意什么？
• 为什么显示的 $0/0$ 警告不要通过直接除法来求值？

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