全微分的几何意义

切平面提供了曲面在参考点处的一阶局部近似。它由该点处的函数值和两个偏导数定义。

适用条件：曲面在参考点 $(x_0, y_0)$ 处可微。；平面是使用 $(x_0, y_0)$ 处的值和偏导数构造的。

可微性要求线性近似（切平面）在输入位移趋近于零时变得任意精确。具体来说，实际增量与全微分之间的剩余误差除以输入位移的长度必须趋近于零。

适用条件：函数在参考点 $(x_0, y_0)$ 处进行评估。；输入发生了位移 $(\Delta x, \Delta y)$，其长度为 $\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$。

全微分 $dz$ 是通过在参考点 $(x_0, y_0)$ 处计算两个偏导数，并将其与输入位移 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 进行线性组合来计算的。公式为 $dz = f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y$。

适用条件：函数在参考点 $(x_0, y_0)$ 处可微。；输入发生了位移 $(\Delta x, \Delta y)$。

实际增量 $\Delta z$ 是输入发生位移后，新的函数值与参考函数值之间的差。其计算公式为 $\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0)$。

适用条件：函数在参考点 $(x_0, y_0)$ 处进行评估。；输入发生了位移 $(\Delta x, \Delta y)$。

实际增量 $\Delta z$ 测量的是曲面上真实的高度变化，计算为新函数值减去参考值。全微分 $dz$ 测量的是在相同输入位移下切平面的高度变化。

适用条件：输入从参考点 $(x_0, y_0)$ 发生了位移 $(\Delta x, \Delta y)$。；函数在参考点处可微。