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线性映射 T(x₁,x₂,x₃)=(x₁−x₂,2x₃) 的核和值域是什么？

核由向量 (1,1,0) 张成，值域是整个二维陪域。零度为一，秩为二。

适用条件

  • 线性映射定义为 T(x₁,x₂,x₃)=(x₁−x₂,2x₃)。
  • 定义域是三维的，陪域是二维的。

理解与推导

  1. 通过寻找使 T(x)=0T(x)=0 的向量来识别核。
  2. 求解 x₁−x₂=0 和 2x₃=0 以找到基 (1,1,0)。
  3. 通过观察输出维度来识别值域。
  4. 得出值域张成整个二维陪域的结论。
  5. 将零度确定为核的维度（1）。
  6. 将秩确定为值域的维度（2）。

例子

对于 T(x₁,x₂,x₃)=(x₁−x₂,2x₃)，核由 (1,1,0) 张成，值域是整个二维陪域。零度为一，秩为二。

容易误解的地方

  • 假设核包含不止一个基向量。
  • 认为值域是陪域的真子集，而实际上它是整个空间。

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秩与零度 →

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