$L^p$ 空间和 $L^\infty$ 空间的定义有什么共同的构造模式？

适用条件

• 上下文是 $L^p$ 和 $L^\infty$ 定义的总结。
• $\|f\|_p$ 和 $\|f\|_\infty$ 都已经被定义。

理解与推导

1. 识别 p-范数和无穷范数的定义。
2. 观察到 $L^p$ 被定义为具有有限 p-范数的可测函数集合。
3. 观察到 $L^\infty$ 被定义为具有有限无穷范数的可测函数集合。
4. 得出两者都遵循以下模式的结论：空间 := { f 可测 : 对应范数 < +$\infty$ }。

例子

视频总结道：“$L^p$ 和 $L^\infty$ 都不是凭空引入的新对象，而是所有对应范数有限的可测函数的集合。”

容易误解的地方

• 认为由于一个使用积分而另一个使用上确界，它们的定义在根本上是不同的；通过范数的有限性来定义空间的结构模式是完全相同的。
• 假设空间是由连续性或可微性定义的；它们仅由可测性和范数有限性定义。

观看对应讲解

继续追问

• 当 $0 < p < +\infty$ 时，可测函数的 p-范数的定义是什么？
• 如何定义 $L^\infty$ 空间？