求和法则与乘积法则的几何可视化有何区别？

适用条件

• 比较线性组合与乘法交互
• 使用微分的几何模型

理解与推导

1. 对于求和法则，想象分别绘制 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$。
2. 垂直堆叠输出以表示 $y=(f+g)(x)$。
3. 观察到水平位移 $dx$ 产生直接相加的垂直位移 $df$ 和 $dg$。
4. 对于乘积法则，想象一个宽为 $f(x)$、高为 $g(x)$ 的矩形。
5. 轻微改变输入以扩展矩形。
6. 将新增面积识别为两个细长的条加上一个微小的角落块。
7. 对比高度的简单加法（求和）与复杂的面积分解（乘积）。

例子

脚本在 109秒说：“对于和，堆叠两个输出高度……共同的输入增量产生输出增量的精确和。”脚本在 251秒说：“对于积，想象一个矩形……精确的面积增量是 $g\Delta f+f\Delta g+\Delta f\Delta g$：两个条带和一个小角。”

容易误解的地方

• 认为乘积法则像求和法则那样涉及导数的加法。
• 在取极限之前忽略乘积法则几何中的“角落”项。

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继续追问

• 为什么角落项在最终的导数公式中消失了？
• 常数乘法如何融入这些几何模型？