在这里，表示是完全可约的意味着什么？

适用条件

• $\Gamma : G \to GL(V)$ 是一个完全可约的表示。
• 选择向量空间 $V$ 的一个合适的基。

理解与推导

1. 从一个完全可约的表示 $\Gamma : G \to GL(V)$ 开始。
2. 选择向量空间 $V$ 的一个合适的基。
3. 在这个新基下表示矩阵 $\Gamma(g)$。
4. 观察到矩阵呈现块对角形式。
5. 将对角线上的块识别为不可约表示。

例子

讲师陈述：“首先我们有一个完全可约的表示。这意味着通过选择合适的基，我们可以将表示矩阵写成这种块对角形式。”幻灯片将 $\Gamma(g)$ 显示为一个块对角矩阵，对角线上有 $\Gamma^1(g), \Gamma^2(g), \Gamma^3(g), \ldots$，非对角线上为零。

容易误解的地方

• 假设表示在没有改变基的情况下就已经是块对角形式。
• 认为对角线上的块可以是可约表示。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么要用不等价的不可约表示而不是出现的顺序来重新标记块？
• 在 $\bigoplus_j a_j \Gamma^j$ 中，系数 $a_j$ 意味着什么？