当欧几里得算法给出最大公约数为 1 时意味着什么？

是的，在这种语境下，“最大公约数”（greatest common factor）被用来指代许多现代文本中更常称为“最大公因数”（greatest common divisor）的概念。所示的数学过程是相同的基于减法的欧几里得算法。

适用条件：在解释算法为何有效时非正式地使用。

要通过列出因数来求最大公约数，需列出第一个数字的所有正因数，列出第二个数字的所有正因数，识别出现在两个列表中的因数，并从公因数中选择最大的数字。

适用条件：输入是正整数。；列出因数对于小例子是实用的；并未断言这是最快的方法。

要开始求 $\gcd(10,45)$ 的欧几里得算法，需将较大的数写成较小的数乘以一个未知的商加上一个未知的余数。具体来说，建立除法方程 $45 = 10 \cdot q + r$。

适用条件：输入是正整数。；较大的数放在方程的左边。；商是整数，且余数满足 $0 \le r < 10$。

要求两个大数的最大公约数，需反复应用带余数除法步骤。首先用较大的数除以较小的数。

适用条件：输入是两个正整数。；每一步都应用除法算法。；当余数等于 0 时停止过程。

演讲者在口头上说的是“最大公分母”（greatest common denominator），但黑板上的数学符号是“gcd”，它在惯例上代表“最大公约数”（greatest common divisor）。寻找两个整数的公因数的上下文证实了预期的概念是最大公约数，所说的词是一个口误。

适用条件：视频讨论了寻找两个整数的公因数。；黑板上显示了符号 gcd(a;b)。；过程涉及重复的整数除法。