在 $\bigoplus_j a_j \Gamma^j$ 中，系数 $a_j$ 意味着什么？

适用条件

• 分解已经被重新标记，使得每个 $j$ 对应一个不等价的不可约表示。

理解与推导

1. 识别重新标记后的直和 $\Gamma = \bigoplus_j a_j \Gamma^j$。
2. 理解索引 $j$ 标记了一个不等价的不可约表示类型。
3. 将系数 $a_j$ 解释为 $\Gamma^j$ 在 $\Gamma$ 中出现的次数。
4. 认识到如果 $a_j > 1$，相同的不可约表示出现了多次。

例子

讲师说：“如果一个表示出现了几次，这里我们就有一个重数。”幻灯片指出：“即在 $\Gamma$ 中，不可约表示 $\Gamma^j$ 包含了 $a_j$ 次。”

容易误解的地方

• 认为 $a_j$ 代表不可约表示 $\Gamma^j$ 的维度。
• 假设对于和中的任何标签 $j$，$a_j$ 可以为零。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么要用不等价的不可约表示而不是出现的顺序来重新标记块？
• 在这里，表示是完全可约的意味着什么？