在归纳法证明中，“归纳假设”一词是什么意思？

适用条件

• 用于归纳步骤的证明中。
• 假设对于固定的任意 k，$P(k)$ 为真。
• 用于证明 $P(k+1)$。

理解与推导

1. 陈述目标：证明 $P(k)$ 蕴含 $P(k+1)$。
2. 假设 $P(k)$ 为真；这个假设就是归纳假设。
3. 利用这个假设来处理 $P(k+1)$ 的表达式。
4. 基于假设推导出 $P(k+1)$ 为真。
5. 完成归纳步骤。

例子

旁白说：“假设 $P(k)$ 被标记为归纳假设。这个术语标识了在归纳步骤内部使用的临时前提，而不是最终定理本身。”在示例中，假设 $P(k)$: $2 + 4$ + ... + $2k = k(k+1)$ 以证明下一个案例。

容易误解的地方

• 认为假设 $P(k)$ 就已经证明了定理对所有 n 成立。
• 将归纳假设与基础步骤混淆。

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继续追问

• 如何对偶数之和执行归纳步骤？
• 为什么需要归纳假设？