什么额外假设将弱收敛转化为强收敛？

适用条件

• $H$ 是一个希尔伯特空间。
• $(x_n)$ 是 $H$ 中弱收敛于 $l$ 的序列。
• $\|x_n\|$ 收敛于 $\|l\|$。

理解与推导

1. 假设 $(x_n)$ 弱收敛于 $l$。
2. 另外假设 $\|x_n\| \to \|l\|$。
3. 使用极化恒等式或展开 $\|x_n - l\|^2 = \|x_n\|^2 - 2\langle x_n, l \rangle + \|l\|^2$。
4. 注意到由弱收敛（选择 $v=l$），$\langle x_n, l \rangle \to \langle l, l \rangle = \|l\|^2$。
5. 得出 $\|x_n - l\|^2 \to \|l\|^2 - 2\|l\|^2 + \|l\|^2 = 0$，所以 $\|x_n - l\| \to 0$，这是强收敛的结论。

例子

命题幻灯片指出：“Let ($x_n$) be a weakly converging sequence to l. Further assume that ||$x_n$|| 收敛 to ||l||. Then ($x_n$) 收敛 strongly to l.”（设 ($x_n$) 是弱收敛于 l 的序列。进一步假设 ||$x_n$|| 收敛于 ||l||。那么 ($x_n$) 强收敛于 l。）

容易误解的地方

• 认为任何弱收敛的有界序列也强收敛。
• 假设额外假设是关于内积的收敛，这已经是弱收敛定义的一部分。

观看对应讲解

继续追问

• 弱收敛是否蕴含强收敛？
• 里斯定理对希尔伯特空间中的有界序列说了什么？