视频使用什么公式来近似 x 以内的素数密度？

适用条件

• x 是正整数。
• 该关系是渐近近似，而不是有限 x 的精确等式。

理解与推导

1. 识别 x 的自然对数，记为 $\ln (x)$。
2. 取 $\ln (x)$ 的倒数得到 $1/\ln (x)$。
3. 将该理论曲线与经验素数密度曲线进行比较。

例子

视频显示了公式 #PRIMES / x ~ $1/\ln (x)$，并展示了绿色曲线 $y = 1/\ln (x)$ 随着 x 的增长与红色经验密度曲线相匹配。

容易误解的地方

• 将渐近近似 $1/\ln (x)$ 与有限 x 的精确公式混淆。
• 假设波浪号 (~) 表示精确相等，而不是近似或渐近一致。

观看对应讲解

继续追问

• 如何从这个密度公式推导出质数定理？
• 什么数值例子检验了密度近似？
• 为什么 $1/\ln (x)$ 与对数螺旋有关？