在 $x=a$ 处取 n 阶导数时，泰勒级数中的其他项会发生什么？

适用条件

• 函数在 a 处无限可微。
• n 是非负整数。
• 导数恰好在中心点 $x=a$ 处求值。

理解与推导

1. 识别第 n 项左侧的项，它们的次数严格小于 n。
2. 对这些低阶项应用 n 阶导数；它们变为精确的零。
3. 识别第 n 项右侧的项，它们的次数大于 n。
4. 对这些高阶项应用 n 阶导数；它们至少保留一个 (x-a) 因子。
5. 在 $x=a$ 处评估得到的表达式；因子 (a-a) 变为零，导致整个项消失。
6. 得出只有第 n 项在 $x=a$ 处经过 n 次求导和求值后存活的结论。

例子

视频解释说，左侧的项消失是因为对次数为 m 的多项式求导 n 次（其中 $m < n$）结果为 0。右侧的项在 $x=a$ 处消失，因为它们包含至少一个 (x-a) 项，所以在 $x=a$ 处，n 阶导数消失。

容易误解的地方

• 假设高阶项在求导时立即变为零，而不是仅在 $x=a$ 处求值时为零。
• 认为低阶项在 n 次求导后会留下一个常数余项。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么泰勒级数项的分母中有一个阶乘？
• 以这种方式构造泰勒多项式的主要目的是什么？