这里使用的 $\sqrt{u}$ 的原函数是什么？

适用条件

• 被积函数是 $\sqrt{u}$，等同于 $u^{1/2}$。
• 积分的幂法则适用。
• 对于实数值的平方根形式，$u \ge 0$。

理解与推导

1. 将被积函数 $\sqrt{u}$ 重写为 $u^{1/2}$。
2. 应用积分的幂法则：将指数加 1 得到 $3/2$。
3. 除以新的指数 $3/2$。
4. 通过乘以其倒数来简化表达式 $\frac{u^{3/2}}{3/2}$，结果为 $\frac{2}{3}u^{3/2}$。

例子

讲师解释说，$u^{1/2}$ 的原函数是 $u^{3/2}$ 除以 $3/2$，也就是乘以 $2/3$。黑板上将原函数显示为 $\frac{2}{3}u^{3/2}$。

容易误解的地方

• 在应用幂法则时忘记将指数加 1。
• 错误地除以原始指数而不是新指数。
• 未能将复分数 $\frac{1}{3/2}$ 简化为 $\frac{2}{3}$。

观看对应讲解

继续追问

• 如何计算定积分 $\frac{4}{9}\int_{1}^{9}\sqrt{u}$\,du？
• 为什么在这个演示示例中 $9^{3/2}-1^{3/2}$ 变成 26？