模块同态的余核的定义是什么？

适用条件

• $f:A\to B$ 是 $R$-模的同态。

理解与推导

1. 识别同态 $f:A\to B$。
2. 找到 $f$ 的像，$\operatorname{im}(f)$，它是 $B$ 的子模。
3. 构造商模 $B/\operatorname{im}(f)$。
4. 这个商被定义为 $f$ 的余核，$\operatorname{coker}(f)$。
5. 在视频中对于 $i:X\to Z$ 的记号中，$\operatorname{coker}(i) = Z/\operatorname{im}(i)$。
6. 引入该定义是为了解释陈述 $\operatorname{coker}(i)\simeq Y$。

例子

视频指出：“对于一般的同态 $f:A\to B$，黑板上写着 $\operatorname{coker} f = B/\operatorname{im} A$。这为后来将 $Z/\operatorname{im} i$ 识别为 $\operatorname{coker}(i)$ 做好了准备。”

容易误解的地方

• 将余核与核混淆。
• 认为余核是定义域的子模。
• 假设余核就是像本身。

观看对应讲解

继续追问

• 模块同态的余核是如何定义的？
• 为什么余核被定义为商？
• 余核与满射有什么关系？