当 $p = +\infty$ 时，$L^\infty$ 范数的定义是什么？

适用条件

• $p = +\infty$。
• f 是 E 上的可测函数。

理解与推导

1. 识别指数 p 等于正无穷的情况。
2. 不再使用积分公式，而是转向本质上确界的概念。
3. 将无穷范数 $\|f\|_\infty$ 定义为 $|f(x)|$ 在 E 上的本质上确界。

例子

视频在黑板上显示了公式：$\|f\|_\infty := \operatorname*{ess\,sup}_{x \in E} |f(x)|$。

容易误解的地方

• 试图对 $p = +\infty$ 使用积分公式 $\left( \int_E |f(x)|^p dx \right)^{1/p}$；视频明确指出在这种情况下不再使用积分类型的公式。
• 将本质上确界与普通的逐点上确界混淆。

观看对应讲解

继续追问

• 本质上确界是如何定义的？
• 本质上界和普通上界有什么区别？