当 $0 < p < +\infty$ 时，可测函数的 p-范数的定义是什么？

适用条件

• E 是 $\mathbb{R}^n$ 的可测子集。
• f 是 E 上的可测函数。
• $0 < p < +\infty$。

理解与推导

1. 识别可测集 E 和可测函数 f。
2. 取函数的绝对值 $|f(x)|$。
3. 将绝对值取 p 次方，得到 $|f(x)|^p$。
4. 在集合 E 上对该表达式进行积分。
5. 将得到的积分取 $1/p$ 次方。

例子

视频在黑板上明确写出了公式：$\|f\|_p := \left( \int_E |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}}$。

容易误解的地方

• 假设 p-范数公式立刻就是一个经过验证的范数；视频澄清这只是一个形式定义，其范数公理需要在后续逐步验证。
• 忘记在取 p 次方前先取绝对值，这对于实值函数的积分良定性是必要的。

观看对应讲解

继续追问

• 如何使用 p-范数定义 $L^p$ 空间？
• 当 $p = +\infty$ 时，无穷范数的定义是什么？