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黎曼 zeta 函数的尾和 Rn(s)R_n(s) 的定义是什么？

尾和，或余项和，Rn(s)R_n(s) 定义为完整的黎曼 zeta 函数 ζ(s)\zeta(s) 与其第 nn 个部分和 fn(s)f_n(s) 之间的差。代数上，它是从 k=n+1k=n+1 开始的无穷级数：Rn(s)=ζ(s)−fn(s)=∑k=n+1∞1ksR_n(s) = \zeta(s) - f_n(s) = \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k^s}。它代表了在 nn 项后截断 zeta 级数所产生的误差。

适用条件

  • ss 是实部大于 1 的复数。
  • ζ(s)=∑k=1∞1ks\zeta(s) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s} 是黎曼 zeta 函数。
  • fn(s)=∑k=1n1ksf_n(s) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^s} 是第 nn 个部分和。

理解与推导

  1. 识别完整级数 ζ(s)\zeta(s)。
  2. 识别前 nn 项的有限部分和 fn(s)f_n(s)。
  3. 从完整级数中减去部分和以分离出剩余的项。
  4. 将结果表示为从索引 k=n+1k=n+1 开始的无穷和。

例子

讲师随后定义了部分和 fn(s)=∑k=1n1ksf_n(s) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^s}，并引入了尾和（或余项和）的概念，记为 Rn(s)R_n(s)。尾和定义为完整 zeta 函数与部分和之间的差：Rn(s)=ζ(s)−fn(s)=∑k=n+1∞1ksR_n(s) = \zeta(s) - f_n(s) = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^s}。

容易误解的地方

  • 将尾和 Rn(s)R_n(s) 与部分和 fn(s)f_n(s) 混淆。
  • 认为尾和从 k=nk=n 开始而不是 k=n+1k=n+1。

观看对应讲解

8:56 – 10:10原站看这一段 ↗

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