显示的弧长积分获得的最终精确值是多少？

适用条件

• 积分已经完全代换并计算到 $\frac{8}{27}\cdot 26$ 这一步。
• 算术简化 $8 \cdot 26 = 208$ 是精确执行的。

理解与推导

1. 从表达式 $\frac{8}{27}\cdot 26$ 开始。
2. 将分子 8 乘以 26。演讲者将其拆分为 $8 \cdot 20 = 160$ 和 $8 \cdot 6 = 48$。
3. 将部分积相加：$160 + 48 = 208$。
4. 保持分母为 27。
5. 将最终的精确有理数值写为 $\frac{208}{27}$。

例子

演讲者总结道，“所以它是 27 分之 208。我们就完成了。”黑板上写着 $=\frac{208}{27}$ 并将其框起来以标记演示示例的结束。

容易误解的地方

• 过早地将精确分数 $\frac{208}{27}$ 转换为十进制近似值。
• 在将 8 乘以 26 时出现算术错误。
• 忘记在最终答案中包含分母 27。

观看对应讲解

继续追问

• 微积分基本定理如何证明以这种方式计算定积分是合理的？
• 弧长公式有效需要哪些条件？