在这个片段中获得的 S 的最终显式解是什么？

适用条件

• $\mu$ 和 $\sigma$ 是常数。
• 试探解 $S=f(W,t)$ 有效。
• $\phi(t)$ 的常微分方程已求解。

理解与推导

1. 求解 $\phi(t)$ 的常微分方程得到 $\phi(t) = c_1 e^{\left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)t}$。
2. 将 $\phi(t)$ 代回 $f(W,t) = \phi(t)e^{\sigma W}$。
3. 合并指数得到 $S = c_1 e^{\sigma W + \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)t}$。
4. 利用 $t=0$ 时的初始条件识别 $c_1 = S_0$。

例子

黑板底部的行写着“$S = f(W,t) = c_1 \exp (\sigma W + (\mu - 1/2 \sigma^2)t)$”。

容易误解的地方

• 忘记指数中的 $-\frac{1}{2}\sigma^2$ 项，该项源于伊藤引理。
• 假设 $c_1$ 总是 1，而不是由初始值 $S_0$ 决定。

观看对应讲解

继续追问

• 常数 $c_1$ 与过程的初始值有什么关系？
• 几何布朗运动的显式解公式是什么？