通过三重积分计算出的长方体的最终体积是多少？

适用条件

• 区域是具有边界 $0 \le x \le 3$、$0 \le y \le 4$ 和 $0 \le z \le 2$ 的长方体。
• 被积函数是 1。

理解与推导

1. 求值最内层积分：$\int_{0}^{2} 1 \, dz = 2$。
2. 求值中间积分：$\int_{0}^{4} 2 \, dy = 8$。
3. 求值最外层积分：$\int_{0}^{3} 8 \, dx = 24$。
4. 得出体积为 24 立方单位的结论。

例子

演讲者将结果陈述为 24 立方单位，这是长方体的体积。黑板上显示最终写出的值为 24。

容易误解的地方

• 忘记将连续积分的结果相乘。
• 混淆积分顺序并错误地应用极限。

观看对应讲解

继续追问

• 长方体体积的三重积分如何简化为二重积分？
• 为什么在计算长方体体积的三重积分中，被积函数隐式为 1？