函数 $z = f(x,y)$ 的全微分公式是什么？

适用条件

• z 是两个变量 x 和 y 的函数。
• 偏导数 ∂f/∂x 和 ∂$f/y$ 存在。

理解与推导

1. 识别函数 $z = f(x,y)$。
2. 计算 f 对 x 的偏导数，将 y 视为常数。
3. 计算 f 对 y 的偏导数，将 x 视为常数。
4. 将第一个偏导数乘以 dx，第二个偏导数乘以 dy。
5. 将两项相加形成全微分 dz。

例子

讲师在白板上写下定义：全微分 dz 等于 f 对 x 的偏导数乘以 dx，加上 f 对 y 的偏导数乘以 dy。

容易误解的地方

• 将全微分与全导数混淆，尽管讲师指出有些人互换使用这些术语。
• 在计算偏导数时忘记将另一个变量视为常数。

观看对应讲解

继续追问

• 如何求 $z = x^2y^2$ 的全微分？
• 全微分有哪些应用？