当 $f(x) > 0$ 时，定积分 $\int_a^b f(x) dx$ 的几何意义是什么？

适用条件

• 函数在区间 $[a,b]$ 上满足 $y=f(x)>0$
• 积分区间为 $[a,b]$

理解与推导

1. 观察显示曲线 $y=f(x)$ 位于 x 轴上方的图表。
2. 识别由曲线、x 轴以及直线 $x=a$ 和 $x=b$ 所包围的区域。
3. 将该区域识别为曲边梯形。
4. 得出定积分计算该特定几何形状面积的结论。

例子

视频绘制了一个坐标系，其中有一条标记为 $y=f(x)>0$ 的曲线，并阴影显示了 $a$ 和 $b$ 之间曲线下方的区域，指出它代表曲边梯形的面积。

容易误解的地方

• 将定积分与不定积分（原函数）混淆。
• 认为即使 $f(x)$ 低于 x 轴，面积解释仍然成立，而未考虑有向面积。
• 认为积分代表曲线的长度而不是其下方的面积。

观看对应讲解

继续追问

• 如何使用黎曼和定义定积分？
• 在定积分的极限定义中，$\lambda$ 代表什么？
• 定积分的概念与连续随机变量的期望有何关系？