向量值函数 f([x; y]) = [$x + \sin (y)$; $y + \sin (x)$] 的雅可比矩阵是什么？

适用条件

• 函数是从 $R^2$ 到 $R^2$ 的向量值映射。
• 输出分量为 $f_1(x,y) = x + \sin (y)$ 和 $f_2(x,y) = y + \sin (x)$。
• 矩阵在特定点（如 (-2, 1)）处求值，以描述局部线性行为。

理解与推导

1. 将向量值函数分解为两个标量分量函数：$f_1(x, y) = x + \sin (y)$ 和 $f_2(x, y) = y + \sin (x)$。
2. 识别输入变量 x 和 y，它们将构成矩阵的列。
3. 识别输出分量 $f_1$ 和 $f_2$，它们将构成矩阵的行。
4. 计算 $f_1$ 对 x 的偏导数以填充左上角的条目。
5. 计算 $f_1$ 对 y 的偏导数以填充右上角的条目。
6. 计算 $f_2$ 对 x 的偏导数以填充左下角的条目。
7. 计算 $f_2$ 对 y 的偏导数以填充右下角的条目。
8. 将这四个偏导数组装成一个 2x2 矩阵。

例子

视频明确构建了矩阵，将 ∂$f_1$/∂x 放在左上角，∂$f_1$/∂y 放在右上角，∂$f_2$/∂x 放在左下角，∂$f_2$/∂y 放在右下角，并将结果标记为“雅可比矩阵”。

容易误解的地方

• 混淆行和列的顺序；行对应输出，列对应输入。
• 认为雅可比矩阵是一个单一数字而不是矩阵。
• 假设雅可比矩阵描述的是全局变换，而不是特定点附近的局部线性近似。

观看对应讲解

继续追问

• 如何在点 (-2, 1) 处求值雅可比矩阵？
• 雅可比矩阵的第一列在几何上代表什么？
• 为什么雅可比矩阵被称为局部线性变换？