余弦函数的麦克劳林级数是什么？

Q: 余弦函数的麦克劳林级数是什么？

余弦函数的麦克劳林级数是无穷幂级数 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots$，用求和符号表示为 $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$。视频揭示，该特定的级数定义函数 $f(x)$ 对所有实数完全等价于 $\cos x$。

余弦函数的麦克劳林级数是无穷幂级数

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots

，用求和符号表示为

\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}

。视频揭示，该特定的级数定义函数

f(x)

对所有实数完全等价于

\cos x

。

适用条件

变量 $x$ 是实数。
级数在 $x=0$ 处求值（麦克劳林级数）。

理解与推导

从视频中识别展开级数 $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots$ 。
识别符号交替、 $x$ 的偶数次幂和偶数阶乘的模式。
写出一般求和形式 $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$ 。
注意到视频的结论：该无穷级数精确映射到 $\cos x$ 的图像上。

例子

在片段的结尾，标签“ $\cos x$ ”写在级数上方，正式将该无穷幂级数识别为余弦函数的麦克劳林表示。

容易误解的地方

将余弦的麦克劳林级数与正弦的级数混淆，后者使用奇数次幂。
假设该级数仅对小值的 $x$ 等于 $\cos x$ ，而不是对所有实数 $x$ 。

观看对应讲解

YouTube视频 2701 - 幂级数讲解

4:53 – 5:13原站看这一段 ↗

继续追问

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