圆面积的均匀划分近似中，上和与下和之间的定量误差界限是多少？

适用条件

• 将半径 $R$ 均匀划分为 $n$ 步
• 线性周长函数 $C(r) = 2\pi r$

理解与推导

1. 定义每个子区间的宽度为 $\Delta r = R/n$。
2. 识别出使用和采用右端点（较大的周长），而下和使用左端点（较小的周长）来计算每个条带。
3. 注意到对于线性函数，每个条带内最大和最小高度之间的差值是恒定的（相对于斜率）。
4. 计算由上和与下和之间的间隙形成的“多余”三角形或矩形的面积。
5. 对所有 $n$ 个区间的这些间隙求和。
6. 推导最终表达式：总误差 $= n \times (\text{slope} \times \Delta r) \times \Delta r / 2$？不，更简单的视角：对于单调函数，Upper - Lower $= (f(R)-f(0))\Delta r$。这里 $f(R)=2\pi R, f(0)=0$。所以误差 $= 2\pi R \cdot (R/n) = 2\pi R^2/n$。

例子

脚本指出：“在均匀划分下，上和与下和相差 2πR²/n。误差趋于零……”

容易误解的地方

• 假设误差依赖于 $n$ 的平方。
• 混淆绝对误差与相对误差百分比。

观看对应讲解

继续追问

• 如果划分是非均匀的，误差会如何变化？
• 这个误差界限是否适用于更高维度的球壳？