定义几何布朗运动的随机微分方程是什么？

适用条件

• $\mu$ 和 $\sigma$ 是常数。
• $W$ 是标准布朗运动。

理解与推导

1. 识别随机过程 $S$。
2. 陈述微分方程 $dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW$。
3. 指明 $\mu$ 和 $\sigma$ 是常数参数。
4. 识别驱动该方程的 $W$ 为标准布朗运动。

例子

讲师在黑板上写下正式定义：“我们说过程 S 遵循几何布朗运动，如果它满足随机微分方程：dS = $\mu S dt + \sigma S$ dW，其中 $\mu$ 和 $\sigma$ 为常数。”

容易误解的地方

• 假设 $\mu$ 和 $\sigma$ 可以随时间或过程的状态而变化。
• 将几何布朗运动与标准布朗运动混淆，后者没有比例 $S$ 项。

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继续追问

• 伊藤引理如何表示布朗运动和时间函数的微分？
• 为什么讲师寻求 $S=f(W,t)$ 形式的解？