在这个递归数列的证明中，哪里使用了单调收敛定理？

适用条件

• 数列已被证明有下界。
• 数列已被证明是非递增的。

理解与推导

1. 验证数列有下界 $\frac{1}{2}$。
2. 验证数列是非递增的（$a_{n+1} \le a_n$）。
3. 应用单调收敛定理得出 $a_n \to L$（对于某个实数 $L$）。
4. 利用 $L$ 的存在性在递推关系中取极限。

例子

黑板上写着“$\{a_n\}_{n=1}^\infty$ bounded 且 non-increasing”（有界且非递增），然后是“Monotone Convergence $\Rightarrow a_n\to L$”（单调收敛 $\Rightarrow a_n\to L$）。

容易误解的地方

• 在证明极限存在之前试图找到极限的值。
• 假设该定理直接提供极限的值，而不仅仅是其存在性。

观看对应讲解

继续追问

• 在知道数列收敛后，如何找到实际的极限？
• 数列 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$（其中 $a_1=1$）的极限是多少？