为什么概率非零的互斥事件通常不是独立的？

适用条件

• 事件 A 和 B 是互斥的（$AB = \emptyset$）。
• 事件 A 的概率大于 0（$P(A) > 0$）。
• 事件 B 的概率大于 0（$P(B) > 0$）。

理解与推导

1. 假设事件 A 和 B 互斥，因此它们的交集是空集（$AB = \emptyset$）。
2. 如果 A 发生，B 就不能发生，这意味着在 A 发生的条件下 B 的条件概率为零（$P(B|A) = 0$）。
3. 因为 $P(B) > 0$，所以 $P(B|A) \neq P(B)$。
4. 根据独立性的定义，如果条件概率不等于无条件概率，则这两个事件不独立。
5. 得出概率非零的互斥事件必然是相关的结论。

例子

考虑抛一次硬币。设 A 为“正面朝上”，B 为“反面朝上”。它们是互斥的（$AB = \emptyset$）。如果反面朝上（B 发生），正面朝上（A）的概率就变成了 0，这不等于它原来的概率 0.5。因此，它们不是独立的。

容易误解的地方

• 认为如果两个事件不能同时发生，它们就是无关的或独立的。
• 假设互斥性总是意味着独立性。

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继续追问

• 不可能事件与任何事件都是独立的吗？
• 如果互斥事件中的一个概率为 0，它们的独立性会发生什么变化？