为什么在表示方波时要添加像 $\cos (2t)$ 和 $\sin (3t)$ 这样的项？

适用条件

• 目标函数是周期为 $2\pi$ 的方波。
• 表示使用正弦和余弦项。

理解与推导

1. 从基频项 $a_1\cos(t)$ 和 $b_1\sin(t)$ 开始。
2. 观察到这个组合本身看起来像一个非常干净的正弦波，而不是方波。
3. 认识到需要额外的分量来捕捉尖角。
4. 添加频率为这些频率倍数的正弦波，例如 $\cos(2t)$ 和 $\sin(3t)$。

例子

演讲者说，$a_1\cos(t)+b_1\sin(t)$ 本身不能描述该函数，因为它看起来会像一个非常干净的正弦波，而不是方波，所以他们添加了频率为这些频率倍数的正弦波。

容易误解的地方

• 将单个基频正弦波误认为是完整的方波表示。
• 忽略三角函数参数内系数的影响，没有意识到 $\cos(2t)$ 的频率是 $\cos(t)$ 的两倍。

观看对应讲解

继续追问

• 如果基周期是 2π，$\cos (2t)$ 的频率是多少？
• 系数 a₁ 和 b₁ 在级数中意味着什么？