为什么 $φ(p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdot \cdot \cdot p_m^{k_m})$ 可以拆分为 $φ(p_1^{k_1})φ(p_2^{k_2})\cdot \cdot \cdot φ(p_m^{k_m})$？

适用条件

• $n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}$ 是 $n$ 的质因数分解。
• $p_i$ 是不同的质数。
• $\varphi$ 对于互质整数是积性的。

理解与推导

1. 回顾欧拉函数的积性性质：如果 $\gcd(a, b) = 1$，则 $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$。
2. 识别出在质因数分解 $n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}$ 中，底数 $p_i$ 是不同的质数。
3. 推断出不同质数的幂是互质的，即对于 $i \neq j$，有 $\gcd(p_i^{k_i}, p_j^{k_j}) = 1$。
4. 迭代应用积性性质，将 $\varphi(n)$ 拆分为 $\varphi(p_1^{k_1})\varphi(p_2^{k_2})\cdots\varphi(p_m^{k_m})$。

例子

设 $n = 12 = 2^2 \cdot 3^1$。因子 $2^2=4$ 和 $3^1=3$ 是互质的，因为 2 和 3 是不同的质数。因此，$\varphi(12) = \varphi(4 \cdot 3) = \varphi(4)\varphi(3)$。我们知道 $\varphi(4) = 4 - 2 = 2$ 且 $\varphi(3) = 3 - 1 = 2$。所以 $\varphi(12) = 2 \cdot 2 = 4$。

容易误解的地方

• 假设 $\varphi(nm) = \varphi(n)\varphi(m)$ 对所有整数 $n$ 和 $m$ 都成立，而不仅仅是互质的整数。
• 忘记质因数分解中的质因数必须是不同的，这种直接拆分才能在没有额外调整的情况下起作用。

观看对应讲解

继续追问

• 欧拉函数的一般公式是什么？
• 如何推导 $φ(p^k) = p^k - p^{k-1}$？
• 为什么数列 $a_n = (-1)^n$ 在 epsilon-N 定义下不收敛于 $L=1$？