为什么我们可以使用直线段来计算差商中的 $F(z) - F(a)$？

适用条件

• 函数 f 在区域 D 上是全纯的。
• 区域 D 是单连通的。
• 点 a 和 z 在 D 中，并且连接它们的直线段完全位于 D 内。

理解与推导

1. 回顾 $F(z)$ 的定义为 f 从固定基点 $z_0$ 到 z 的积分。
2. 将差值 $F(z) - F(a)$ 表示为 f 从 a 到 z 的积分。
3. 应用路径无关性的性质：因为 f 在单连通区域上是全纯的，所以从 a 到 z 的积分沿任何路径都是相同的。
4. 选择从 a 到 z 的直线段 $\gamma_z$ 作为积分的方便路径。
5. 将沿此直线段的积分代入差商表达式。

例子

讲师说，“正如我一分钟前告诉你的，你选择哪条路并不重要。所以特别地，你可以选择以下路线……从 z zero 到 a 然后到 z。”图表显示了连接 a 和 z 的直线段。

容易误解的地方

• 假设在不考虑区域的拓扑结构和函数的解析性的情况下，总是可以任意选择方便的路径来评估围道积分或定义原函数。
• 认为直线段是唯一有效的路径，而不是由于路径无关性而做出的方便选择。

观看对应讲解

继续追问

• 如何应用估计引理来界定 $f(w) - f(a)$ 的积分？
• 在这个证明中，全纯函数原函数的显式公式是什么？