通过除以 $n^2$ 评估有理部分和的极限

适用条件

• 表达式是关于 $n$ 的多项式的商。
• 极限是在 $n \to \infty$ 时取的。
• 分母中 $n$ 的最高次幂是 $n^2$。

理解与推导

1. 展开分母以识别 $n$ 的最高次幂。
2. 将分子和分母同时除以这个最高次幂（$n^2$）。
3. 观察当 $n \to \infty$ 时每一项的行为。
4. 得出结论：分母中含有 $n$ 的项趋于 0，而简化后的分子无界增长。

例子

将 $\frac{2n^3}{n^2+3n+2}$ 除以 $n^2$ 得到 $\frac{2n}{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}$。当 $n \to \infty$ 时，$\frac{3}{n} \to 0$ 且 $\frac{2}{n^2} \to 0$，因此分母趋于 1，而分子 $2n \to \infty$。

容易误解的地方

• 认为除以 $n^2$ 会改变极限的值。
• 在没有检查分子次数的情况下，假设分母的增长迫使整个分数趋于 0。

观看对应讲解

继续追问

• 如何评估分子次数高于分母次数的有理函数在无穷远处的极限？
• 部分和 $S_n$ 与无穷级数 $S$ 有什么区别？
• 为什么当部分和的极限为无穷大时级数发散？