为什么在求解平稳分布时要添加方程 $\pi(a)+\pi(b)=1$？

适用条件

• $\pi$ 是状态上的概率分布。
• 状态空间恰好有两个状态，a 和 b。

理解与推导

1. 从 $\pi P = \pi$ 导出平衡方程。
2. 观察到这些方程是线性相关的，只产生一个比例关系（例如 $4\pi(b) = 7\pi(a)$）。
3. 应用概率分布的定义，要求所有概率之和为 1。
4. 使用 $\pi(a) + \pi(b) = 1$ 作为第二个非冗余方程。
5. 求解这两个独立方程的系统以找到 $\pi(a)$ 和 $\pi(b)$ 的唯一值。

例子

演讲者说：“我们知道它是一个有效的概率分布。所以它的元素必须总和为一。”然后他称 $\pi(a)+\pi(b)=1$ 为“我们可以用作第二个非冗余方程的方程”。

容易误解的地方

• 认为仅凭平衡方程就足以唯一确定平稳分布。
• 假设归一化条件是可选的或只是一种惯例，而不是概率分布的数学要求。

观看对应讲解

继续追问

• 如何将 $\pi(b)=7/4 \pi(a)$ 代入归一化方程得到 $\pi(a)=4/11$？
• 具有 $P=[[0.3,0.7],[0.4,0.6]]$ 的两状态马尔可夫链的平稳分布是什么？