为什么在求解对手的混合策略时我们要将两个期望收益设为相等？

适用条件

• 游戏处于混合策略纳什均衡中。
• 玩家在多个纯策略上随机化。
• 玩家的纯策略的期望收益是根据对手的混合策略计算的。

理解与推导

1. 识别在其纯策略上随机化的玩家。
2. 在给定对手的混合策略的情况下，计算该玩家每个纯策略的期望收益。
3. 将被混合的所有纯策略的期望收益设为彼此相等。
4. 求解所得方程以得到对手的混合概率。

例子

为了找到玩家 1 的混合概率 $p$，我们将玩家 2 的期望收益设为相等：$\pi_2(R) = \pi_2(L)$。这确保玩家 2 在 R 和 L 之间无差异，这是玩家 2 愿意在均衡中混合其策略所必需的。

容易误解的地方

• 学生可能直觉地认为玩家应该选择概率来直接最大化自己的期望收益，而不是为了让对手无差异。
• 认为每个玩家自己的收益被用来求解该玩家的混合概率。实际上，玩家 1 的混合策略是为了让玩家 2 无差异而选择的。

观看对应讲解

继续追问

• 如何计算纳什均衡中玩家 1 混合策略的概率 p？
• 如何在混合策略纳什均衡中找到玩家 2 的混合概率 q？