为什么在寻找 MLE 时使用对数似然而不是原始似然函数？

我们使用对数似然，因为自然对数是严格递增（单调）函数，所以最大化对数似然会产生与最大化原始似然完全相同的参数值。此外，对数将独立概率的乘积转换为求和，这使得求导变得容易得多。

适用条件

识别似然函数 $L(\theta \mid x_1, \dots, x_n)$ ，它是单个概率项的乘积。
取似然的自然对数以获得对数似然 $\ell(\theta \mid x_1, \dots, x_n) = \log L(\theta \mid x_1, \dots, x_n)$ 。
应用对数性质 $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ 将乘积转换为求和： $\sum_{i=1}^n \log f(x_i \mid \theta)$ 。
认识到因为对数是单调的，使 $\ell(\theta)$ 最大化的 $\theta$ 值也使 $L(\theta)$ 最大化。
计算求和的导数，这在数学上比计算乘积的导数更简单。

讲师写下 $\ell(\Theta | x_1, ..., x_n) = \log L(\Theta | x_1, ..., x_n)$ 和 $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ 。她解释说：“使用对数要容易得多，因为记住，如果我们取乘积的对数，那只是对数的和。”

答案依据视频资料生成并经过独立核验。若有疑问，请核对原视频或联系原作者。