为什么 5 在模 10 下没有逆元？

当且仅当 a 和 m 的最大公约数等于 1（记作 $(a,m)=1$）时，整数 a 在模 m 下有逆元。如果 a 和 m 之间的最大公约数大于 1，则在模 m 下没有逆元。

适用条件：a 是整数。；m 是模数。；(a,m) 表示 a 和 m 的最大公约数。

18 在模 19 下是其自身的逆元，因为 18 在模 19 下同余于 -1，而 -1 始终是其自身的乘法逆元，因为 $(-1)(-1)=1$。因此，$18 \cdot 18 \equiv (-1)(-1) \equiv 1 \pmod{19}$。

适用条件：在模 19 下工作。；使用事实 18 ≡ -1 (mod 19)。

负剩余通过将较大的正代表元替换为模 m 下绝对值较小的等价剩余，使寻找模逆元更容易。这通常将问题转化为寻找更简单数字（如 -1 或 -2）的逆元，这些数字可以立即识别或更容易分解。

适用条件：替换必须在相同的 m 下同余。；得到的剩余在模 m 下仍应是可逆的。

如果两个整数 a 和 b 的乘积在模 m 下同余于 1，则称它们在模 m 下互为乘法逆元。这由条件 $ab \equiv 1 \pmod{m}$ 定义。

适用条件：a 和 b 是整数。；同余是在模 m 下取的。

要手动找到 a 在模 m 下的逆元，从 1 开始，反复加上模数 m，以生成在模 m 下同余于 1 的数。当到达一个能被 a 整除的数时停止。

适用条件：用于查找 a 在模 m 下的逆元。；在模 m 下同余于 1 的整数中寻找 a 的倍数。