为什么位于另外两个向量所张成平面内的第三个向量会导致线性相关？

适用条件

• 三维空间中存在三个向量
• 前两个向量是线性无关的（非平行）
• 第三个向量位于前两个向量张成的平面内

理解与推导

1. 建立由前两个独立向量形成的平面。
2. 检查第三个向量的尖端是否落在这个现有的平面上。
3. 如果是，将第三个向量表示为 $c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2$。
4. 认识到添加这个向量并不会将可达区域（张成空间）扩展到当前平面之外。
5. 由于冗余性，将该集合分类为线性相关。

例子

如果 $\vec{v}_1$ 和 $\vec{v}_2$ 定义了地板，而 $\vec{v}_3$ 是地板上的影子，那么 $\vec{v}_3$ 并不能帮助你触及天花板。它依赖于 $\vec{v}_1$ 和 $\vec{v}_2$。

容易误解的地方

• 混淆线性相关与正交性；在此背景下，相关向量不需要平行，只需共面。
• 认为需要零向量才会导致相关性；虽然这也是真的，但非零共面向量也表现出相关性。

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相关概念

继续追问

• 一组三个线性无关向量的特征是什么？
• 线性无关性与基的定义有何关系？

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