为什么 $X \to Z \to Y \to 0$ 的正合性意味着 $\operatorname{im} p=Y$？

适用条件

• $X \xrightarrow{i} Z \xrightarrow{p} Y \to 0$ 是正合序列。
• 正合性定义为在每个内部对象处，$\operatorname{im}(\text{incoming}) = \ker(\text{outgoing})$。

理解与推导

1. 识别序列中离开 $Y$ 的映射，即零映射 $Y\to 0$。
2. 回顾 $Y$ 处正合性的定义：$\operatorname{im}(p) = \ker(Y\to 0)$。
3. 确定零映射 $Y\to 0$ 的核。由于 $Y$ 中的每个元素都映射到零模中的 $0$，核是整个 $Y$。
4. 得出结论 $\operatorname{im}(p) = Y$。
5. 这个等式在余核引理的证明中被用来将 $\operatorname{im}(p)$ 替换为 $Y$。
6. 视频明确指出了这一步：“现在利用序列以 $Y\to 0$ 结束的事实。$Y$ 处的正合性迫使 $\operatorname{im} p = \ker(Y\to 0)=Y$，所以 $p$ 是满射。”

例子

视频指出：“现在利用序列以 $Y\to 0$ 结束的事实。$Y$ 处的正合性迫使 $\operatorname{im} p = \ker(Y\to 0)=Y$，所以 $p$ 是满射。将其代入前一行，将陈述升级为 $Z/\ker p \simeq Y$。”

容易误解的地方

• 认为对于任何映射 $p:Z\to Y$，$\operatorname{im}(p)$ 总是 $Y$。只有当 $p$ 是满射时才成立，这里由 $Y$ 处的正合性保证。
• 混淆 $Y\to 0$ 的核与 $Y\to 0$ 的像。像是 $0$，但核是 $Y$。
• 忘记正合性适用于序列中的每个对象，包括最右边的非零对象 $Y$。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么 $X \to Z \to Y \to 0$ 的正合性意味着 $\operatorname{im} p=Y$？
• 序列在 $Y$ 处正合意味着什么？
• 满射与正合性有什么关系？