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为什么证明 −23an+13≤0-\frac{2}{3}a_n+\frac{1}{3}\le0 归结为已知的界 an≥12a_n\ge\frac{1}{2}？

不等式 −23an+13≤0-\frac{2}{3}a_n+\frac{1}{3}\le0 在代数上等价于 13≤23an\frac{1}{3}\le\frac{2}{3}a_n，进而简化为 12≤an\frac{1}{2}\le a_n。由于下界 an≥12a_n\ge\frac{1}{2} 已经通过归纳法证明，因此可以保证差 an+1−ana_{n+1}-a_n 是非正的。

适用条件

  • 差的表达式为 an+1−an=−23an+13a_{n+1}-a_n = -\frac{2}{3}a_n + \frac{1}{3}。
  • 下界 an≥12a_n \ge \frac{1}{2} 已经针对所有 n≥1n \ge 1 确立。

理解与推导

  1. 从要证明的不等式开始：−23an+13≤0-\frac{2}{3}a_n+\frac{1}{3}\le0。
  2. 两边加上 23an\frac{2}{3}a_n：13≤23an\frac{1}{3} \le \frac{2}{3}a_n。
  3. 两边乘以 32\frac{3}{2}（或除以 23\frac{2}{3}）：12≤an\frac{1}{2} \le a_n。
  4. 认识到 an≥12a_n \ge \frac{1}{2} 是之前证明的归纳主张。
  5. 得出差是非正的结论，这意味着数列是非递增的。

例子

黑板上显示了带框的等价链：−23an+13≤0  ⟺  13≤23an  ⟺  12≤an-\frac{2}{3}a_n+\frac{1}{3}\le0 \iff \frac{1}{3}\le\frac{2}{3}a_n \iff \frac{1}{2}\le a_n。

容易误解的地方

  • 忘记乘以或除以正常数会保持不等号的方向。
  • 假设等价性仅在一个方向上成立。

观看对应讲解

3:01 – 3:39原站看这一段 ↗

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答案依据视频资料生成并经过独立核验。若有疑问，请核对原视频或联系原作者。