为什么在部分和近似中蓝色曲线偏离红色曲线？

适用条件

• 蓝色曲线是有限部分和（例如前四项）。
• 红色曲线是目标函数 $\cos x$。
• $x$ 值足够大（远离原点）。

理解与推导

1. 将蓝色曲线识别为由前四项形成的多项式：$1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}$。
2. 观察到对于大的 $x$，最高次项（$-\frac{x^6}{6!}$）主导了多项式的值。
3. 注意到负的六次项迫使多项式在 $|x|$ 增加时急剧下降至负无穷。
4. 将其与红色曲线（$\cos x$）进行对比，后者在 $-1$ 和 $1$ 之间周期性地振荡。
5. 得出偏离是使用有限项数近似周期函数的固有局限性的结论。

例子

视频显示蓝色曲线（前四项）在原点附近跟随红色余弦曲线，但对于较大的 $x$ 值则急剧向下偏离，这是由 $-\frac{x^6}{6!}$ 项驱动的。

容易误解的地方

• 假设再添加几项就能永久修复所有地方的偏离。
• 认为有限多项式可以在无限域上完美复制周期性行为。

观看对应讲解

继续追问

• 余弦函数的麦克劳林级数是什么？
• 各项如何影响近似的形状？
• 部分和如何近似由级数定义的函数？