为什么样本点 $(x_k,y_k)$ 的确切选择不影响最终体积？

适用条件

• 适用于划分范数 $\|P\| \to 0$ 的极限情况。
• 每个 $(x_k,y_k)$ 必须在其对应的子矩形内选择。

理解与推导

1. 承认对于有限划分，$(x_k,y_k)$ 的选择会影响和的值。
2. 考虑子矩形变得无限小的极限过程。
3. 认识到当子矩形面积趋于零时，其内部函数值的变化也趋于零。
4. 得出极限体积与特定样本点选择无关的结论。

例子

讲师在正式定义部分的开头说：“在极限情况下，你在矩形内确切选择 $x_k$,$y_k$ 的位置实际上并不重要。”二维图显示了一个标有 $(x_k,y_k)$ 的黄点在红色矩形内，说明它可以在内部的任何地方。

容易误解的地方

• 认为需要一个特定的规则（如总是选择左下角）才能得到精确体积。
• 认为有限和对样本点的依赖性意味着精确积分也依赖于它。
• 假设样本点必须是质心或特定的几何中心。

观看对应讲解

继续追问

• 如何使用二重黎曼和定义矩形区域上曲面下的体积？
• 在二重积分的定义中，划分范数 $\|P\| \to 0$ 是什么意思？
• 如何使用四个相等的区域来近似 $f(x,y)=9-x^2-y^2$ 下方的体积？