为什么级数 $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$ 的 $k=0$ 项等于 $1$？

适用条件

• 索引值为 $k=0$。
• 假设使用标准数学约定 $x^0=1$ 和 $0!=1$。

理解与推导

1. 将 $k=0$ 代入通项得到 $\frac{(-1)^0 x^{2\cdot 0}}{(2\cdot 0)!}$。
2. 计算符号因子：$(-1)^0 = 1$。
3. 计算 $x$ 的幂：$x^0 = 1$。
4. 计算分母中的阶乘：$0! = 1$。
5. 合并结果：$\frac{1 \cdot 1}{1} = 1$。

例子

对于 $k=0$，演讲者说该因子变为 $1$，$x$ 的 $0$ 次幂将是 $1$，零的阶乘是 $1$，所以第一项简化为 $1$。

容易误解的地方

• 假设 $x^0 = 0$ 而不是 $1$。
• 认为 $0! = 0$ 而不是 $1$。
• 认为第一项应该包含 $x$，因为这是一个幂级数。

观看对应讲解

继续追问

• 如何逐项展开求和式 $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$？
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