为什么最小上界性质保证 $L - \epsilon$ 不是序列值集合的上界？

适用条件

• $L$ 是集合 $\{a_n\}$ 的上确界（最小上界）。
• $\epsilon > 0$ 是任意给定的正实数。

理解与推导

1. 将 $L$ 定义为序列值集合的上确界。
2. 注意到由于 $\epsilon > 0$，所以 $L - \epsilon < L$。
3. 应用上确界的定义：任何小于 $L$ 的数都不能是上界。
4. 得出 $L - \epsilon$ 不是上界的结论。
5. 推断存在某一项 $a_N$ 使得 $a_N > L - \epsilon$。

例子

脚本解释道：“因为 L 是*最小*上界，所以 L - ε 不可能是上界，这意味着某些项 $a_N$ 超过了 L - ε。”

容易误解的地方

• 认为如果序列没有非常接近 L，那么 L - ε 可能仍然是上界。
• 混淆上确界与最大值；上确界不必由任何元素达到，但元素必须无限接近它。

观看对应讲解

继续追问

• 序列是否一定包含值 L？
• 如果序列被多个数从上方界定，哪一个是 L？