确界原理证单调有界原理，今天正式开学了

红虚线代表上确界 $L$，它是序列 $\{a_n\}$ 的最小上界。在视觉上，它确立了序列趋近但从不超越的天花板。

适用条件：单调递增序列的视觉演示。；存在上确界 $L$。

有上界的单调递增数列收敛于其上确界，因为上确界起着最小上界的作用。对于任意给定的容差 $\varepsilon > 0$，上确界的性质保证了数列中存在至少一项超过 $L - \varepsilon$。

适用条件：数列 $\{a_n\}$ 是单调递增的。；数列 $\{a_n\}$ 有上界。；$L$ 是数列值集合的上确界。；$\varepsilon > 0$ 是任意正容差。

首先，上确界性质确保了存在一个索引 $N$，使得 $a_N > L - \epsilon$。其次，单调性确保了对于所有 $n > N$，有 $a_n \ge a_N$，因此 $a_n > L - \epsilon$。

适用条件：序列 $\{a_n\}$ 是单调递增的。；序列 $\{a_n\}$ 以 $L$ 为上界。；给定 $\epsilon > 0$。

根据定义，单调递增序列对所有 $n$ 满足 $a_{n+1} \ge a_n$。通过归纳或传递性，如果 $n > N$，则 $a_n \ge a_{n-1} \ge \dots \ge a_N$。

适用条件：序列 $\{a_n\}$ 是单调递增的。；$N$ 是一个固定的整数索引。；$n$ 是任何满足 $n > N$ 的整数。

视频使用了一个动画笛卡尔坐标系。横轴代表索引 $n$，纵轴代表项值 $a_n$。

适用条件：可视化假设数列是单调递增且有上界的。；坐标轴分别标记为索引和值。

最小上界性质保证了数列值集合存在一个唯一的上确界 $L$，前提是该集合非空且有上界。这个上确界 $L$ 充当了数列的候选极限。

适用条件：数列值集合非空。；数列值集合有上界。

这个双重不等式对所有满足 $n > N$ 的索引 $n$ 有效，其中 $N$ 是由上确界性质保证的特定索引，使得 $a_N > L - \epsilon$。在 $N$ 之前，项可能小于或等于 $L - \epsilon$。

适用条件：$N$ 定义为使得 $a_N > L - \epsilon$ 的索引。；$n$ 是整数索引。；序列单调递增且以上界 $L$ 为界。

绿虚线指示了对于任何给定的 $\epsilon > 0$ 的值 $L - \epsilon$。它在视觉上展示了上确界下方的“epsilon 邻域”概念。

适用条件：$\epsilon > 0$ 是任意给定的正距离。；$L$ 是上确界。

上确界的定义包含两个条件：$L$ 是一个上界，且没有比 $L$ 小的数是上界。如果我们取任意 $\varepsilon > 0$，值 $L - \varepsilon$ 严格小于 $L$。

适用条件：$L$ 是数列值的上确界。；$\varepsilon > 0$ 是任意正数。

单调性确保一旦某项 $a_N$ 超过 $L - \varepsilon$，所有后续项 $a_n$（对于 $n > N$）都大于或等于 $a_N$。由于数列也被 $L$ 从上方界定，这些项满足 $L - \varepsilon < a_n \le L$。

适用条件：数列是单调递增的。；存在一个索引 $N$ 使得 $a_N > L - \varepsilon$。；$L$ 是数列的上界。

最小上界性质将 $L$ 定义为从上方界定该集合的*最小*数。如果我们从 $L$ 减去任何正量 $\epsilon$，结果值 $L - \epsilon$ 严格小于最小上界。

适用条件：$L$ 是集合 $\{a_n\}$ 的上确界（最小上界）。；$\epsilon > 0$ 是任意给定的正实数。