为什么讲师说为了使用单调收敛定理，数列必须有界且单调？

适用条件

• 数列由实数组成。
• 目标是使用单调收敛定理证明收敛。

理解与推导

1. 识别所应用的定理：单调收敛定理。
2. 回忆该定理的假设条件：数列必须有界且单调。
3. 得出验证这两个性质是所需证明策略的结论。

例子

讲师表示他们想使用单调收敛定理，因此需要证明数列是有界的且非递减或非递增。

容易误解的地方

• 认为仅有界性就足以证明收敛。
• 假设仅单调性就足以证明收敛。

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继续追问

• 在证明数列有下界之后，讲师说还需要证明什么？
• 如何计算递推关系 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$ 的 $a_{n+1}-a_n$？