为什么 $f(x,y)$=xy/(x²+y²) 在原点处的多元极限不存在？

算术平均数充当当前估计值与下一个迭代值之间的几何桥梁。通过将递推关系 $x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{a}{x_n})$ 分解为 $f(x)=x$ 和 $g(x)=\frac{a}{x}$，算术平均数对应于 $x_n$ 处直线和双曲线上两点之间的垂直中点。

适用条件：递推关系为 $x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{a}{x_n})$。；函数定义为 $f(x) = x$ 和 $g(x) = \frac{a}{x}$。；几何解释使用垂直距离和中点。

可视化将数列的离散点绘制在与 $y=3$ 的水平渐近线相对的位置。容差 $\varepsilon$ 定义了一个水平带 $y = 3 \pm \varepsilon$。

适用条件：数列为 $a_n = \frac{3n^2}{n^2-3}$。；极限为 $A=3$。；坐标系绘制离散点与 n 的关系。

条件 $x_n \neq x_0$ 确保极限描述的是函数在 $x_0$ *附近*的行为，而与函数在 $x_0$ *处*的值无关。它排除了数列恒等于 $x_0$ 的平凡情况，这种情况无论周围行为如何，始终产生 $f(x_0)$。

适用条件：$x_0$ 是定义域的聚点。；数列 $x_n$ 趋近于 $x_0$。；函数 $f$ 在 $x_0$ 处可能有定义，也可能没有。

归结原则要求*每一个*趋近于聚点的容许数列都产生相同的极限。仅检查几条路径只提供了一部分情况；未检查的路径中可能存在反例，从而使全称主张无效。

适用条件：该准则适用于定义域中趋近于 $x_0$（排除 $x_0$）的所有数列。；单个反例足以证明极限不存在。；有限的验证无法为无限集确立普遍真理。

柯西条件指出，对于每一个正容差 $\varepsilon$，都存在一个索引 $N$，使得对于所有大于 $N$ 的索引 $m, n$，数列项之间的距离 $|a_m - a_n|$ 严格小于 $\varepsilon$。这意味着数列中所有足够靠后的项都会彼此任意接近，无论它们的索引相隔多远。

适用条件：数列定义在实数上。；$\varepsilon > 0$ 是任意正容差。；$N$ 是依赖于 $\varepsilon$ 的整数阈值。；$m$ 和 $n$ 是任何严格大于 $N$ 的索引。