海涅定理

条件 $x_n \neq x_0$ 确保极限描述的是函数在 $x_0$ *附近*的行为，而与函数在 $x_0$ *处*的值无关。它排除了数列恒等于 $x_0$ 的平凡情况，这种情况无论周围行为如何，始终产生 $f(x_0)$。

适用条件：$x_0$ 是定义域的聚点。；数列 $x_n$ 趋近于 $x_0$。；函数 $f$ 在 $x_0$ 处可能有定义，也可能没有。

归结原则要求*每一个*趋近于聚点的容许数列都产生相同的极限。仅检查几条路径只提供了一部分情况；未检查的路径中可能存在反例，从而使全称主张无效。

适用条件：该准则适用于定义域中趋近于 $x_0$（排除 $x_0$）的所有数列。；单个反例足以证明极限不存在。；有限的验证无法为无限集确立普遍真理。

如果函数极限存在，所有趋近于 $x_0$ 的输入数列——包括从左侧和右侧趋近的数列——必须产生收敛于同一极限的输出数列。左右极限的不一致意味着整体极限不存在。

适用条件：聚点是 $x_0$。；从定义域中选择从不同方向（例如 $x < x_0$ 和 $x > x_0$）趋近于 $x_0$ 的数列。；假设函数极限可能存在。

如果两个数列 $x_n$ 和 $y_n$ 都趋近于 $x_0$（且各项不等于 $x_0$），但它们的函数值 $f(x_n)$ 和 $f(y_n)$ 分别趋近于不同的极限 $A$ 和 $B$（$A \neq B$），则函数极限 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 不存在。

适用条件：两个数列必须趋近于同一个聚点 $x_0$。；两个数列都不能包含点 $x_0$ 本身。；输出数列的极限必须不同（$A \neq B$）。

$x^2$ 表现出稳定、可预测的收敛性，所有趋近于 0 的数列都产生趋近于 0 的输出。相比之下，$\sin(1/x)$ 在 0 附近无限快速振荡，允许构造具有不同输出极限（例如 1 和 -1）的数列，从而不满足归结原则。

适用条件：两个函数都在聚点 $x_0 = 0$ 处进行分析。；比较侧重于数列 $x_n \to 0$ 时 $f(x_n)$ 的行为。；对于所有考虑的数列，$x_n \neq 0$。

函数 $\sin(1/x)$ 在 $x \to 0$ 时没有极限，因为可以构造两个趋近于 0 的数列，其函数值分别在 1 和 -1 之间振荡，违反了所有数列必须收敛于同一极限的要求。

适用条件：在考虑极限时，定义域排除 $x=0$。；数列必须由函数有定义的点组成。；聚点是 $x_0 = 0$。

$f(x)=x^2$ 的图像显示了一条穿过原点的平滑连续曲线。直观上，任何趋近于 0 的 x 值序列都映射到趋近于 0 的 y 值，说明无论输入路径如何，输出极限都是一致的。

适用条件：函数是 $f(x) = x^2$。；聚点是 $x_0 = 0$。；图像用作视觉辅助，而非正式证明。

归结原则指出，当且仅当趋近于 $x_0$ 的每一个定义域点列 $x_n$（且 $x_n \neq x_0$）的函数值 $f(x_n)$ 都趋近于 $A$ 时，$f(x)$ 在 $x$ 趋近于 $x_0$ 时的极限为 $A$。

适用条件：$x_0$ 是定义域的聚点。；数列 $x_n$ 必须由定义域中的点组成。；对所有 $n$，$x_n \neq x_0$。