为什么部分和序列 $f_n(x)$ 在区间 (1, infinity) 上不一致收敛于 zeta(x)？

适用条件

• 定义域是开区间 $x > 1$。
• $f_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^x}$ 是部分和序列。
• $\zeta(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^x}$ 是极限函数。
• 假设积分判别法的结果 $\zeta(1 + \frac{1}{n+1}) > n+1$。

理解与推导

1. 选择一个固定的容差 $\epsilon = 0.005$。
2. 选择一个依赖于 $n$ 且趋近于 1 处奇点的点 $x = 1 + \frac{1}{n+1}$。
3. 使用积分判别法建立下界 $\zeta(x) > n+1$。
4. 建立部分和的上界 $f_n(x) \le n$。
5. 计算差值 $|\zeta(x) - f_n(x)| > (n+1) - n = 1$。
6. 观察到 $1 > 0.005 = \epsilon$，证明没有一个单一的 $N$ 对所有 $x > 1$ 都适用。

例子

视频显示了一个图表，当 $x$ 从右侧趋近于 1 时，极限函数 $\zeta(x)$ 与部分和之间的差距变得任意大，说明了为什么在整个定义域 $x>1$ 上一致收敛会失败。

容易误解的地方

• 假设因为级数对每个 $x>1$ 都逐点收敛，所以它必须在整个区间上一致收敛。
• 认为反例需要一个固定的 $x$；在证明不一致收敛时，$x$ 允许依赖于 $n$。

观看对应讲解

继续追问

• 如何恢复 zeta 函数的一致收敛性？
• 尾和 $R_n(s)$ 在证明受限区域上的一致收敛中起什么作用？